x2＋(y－3 √x2)2 =1.
（ここで、3√x2=x2/3を表します。）
ふと思ったのです、このハート形の面積は半径1の円、右図の点線で書いた円の面積と等しくなる；すなわちπになると。暇人なんですね。
証明は簡単でした。ハート形の曲線の上側の式
3√x2＋√1 - x2 と、下側の式
3√x2ー√1 - x2の差をとって、xに関して-1から1まで積分すればよい。
両者の差はまさに2√1 - x2となります。
√1 - x2は半径1の円の上半分を意味しますから。その面積はπ/2
したがって、上のハート形の面積はπということになります。
どうも一般に、xの-1以上1以下の範囲で、連続で有界な関数f(x)に関して、曲線
x2＋(y－f(x))2 =1.
によって囲われる図形の面積はπということになります。
3 件のコメント :
数値積分のパッケージがありましたので、やってみました。
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import numpy as np
from scipy import integrate
y1 = integrate.quad(lambda x: +(1-x*x)**(1.0/2.0) + (x*x)**(1.0/3.0) - 1, -1, 1) ＃最後の２つのパラメータが積分範囲
y2 = integrate.quad(lambda x: +(1-x*x)**(1.0/2.0) - (x*x)**(1.0/3.0) + 1, -1, 1)
#積分値と推定誤差
print(y1)
print(y2)
#タップルのアンパック
y11, y12 = y1
y21, y22 = y2
#積分値のみ足し算
y = y11 + y21
-----------------------------------------------------------------------
(0.7707963267959612, 9.394687139341329e-09)
(2.370796326795989, 1.3347662530804882e-08)
3.14159265359195
↑ これが最終的な答
integrate する y1 と y2 の中身をよくみたら、２つ合わせて、2*(1-x*x)**(1.0/2.0)
y = integrate.quad(lambda x: 2*(1-x*x)**(1.0/2.0), -1, 1)
print(y)
答えは、
(3.1415926535897967, 2.000470900043183e-09)
#積分値と推定誤差
日本にはpiの計算に全力を傾けた人は￥が居まして、金田さんと言いますがが、彼は２００２年に1兆2411億7730万桁まで正確に求めたそうです。
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