2017年11月23日木曜日

Dmitri Hvorostovskyが逝った

2017年11月22日、彼は逝ってしまった。55歳。世界は素晴らしいバリトン歌手を失ってしまった。 Ettore Bastianiniも若くして去ってしまったが、Hvorostovskyまでが。 まだまだ沢山の素晴らしい作品を残すはずと思っていたのだが。こんなに才能に溢れた人がこんなに早く逝くなんて!
Dmitri Hvorostovsky at the Met;<https://www.youtube.com/watch?v=Mt7wYGysu0Q>

2017年11月10日金曜日

心温まる曲線、番外編  (面積)

心温まる曲線の後編において、以下の式が右のハートの形を表すことを示しました。
x2(y3 x2)=1.
(ここで、3x2=x2/3を表します。)
ふと思ったのです、このハート形の面積は半径1の円、右図の点線で書いた円の面積と等しくなる;すなわちπになると。暇人なんですね。
証明は簡単でした。ハート形の曲線の上側の式
3x2+√1 - x2 と、下側の式
3x2ー√1 - x2の差をとって、xに関して-1から1まで積分すればよい。
両者の差はまさに21 - x2となります。
1 - x2は半径1の円の上半分を意味しますから。その面積はπ/2
したがって、上のハート形の面積はπということになります。

どうも一般に、x-1以上1以下の範囲で、連続で有界な関数f(x)に関して、曲線
x2(yf(x))=1.
によって囲われる図形の面積はπということになります。

2017年11月8日水曜日

カードのダイヤはそんなに難しくないが

例えば一例ですが辺がちょっと内側に反らない、真っすぐの線だと
  s|y|+|x|=s,   0<s<1
sが1に近いほど縦横の長さが同じに近づき、sが1より小さくなるにつれ、縦長になる。 
ひし形が内側に少し反ることがあるけれど、その場合は、
s|y|+x2/3=s
或いは
s|y|+x4/5=s 
ぐらいでどうでしょね。勿論 0<s<1  
スペードやクラブは一つの式で表すのは難しそうだな。

2017年11月7日火曜日

心温まる曲線、後編 (解答編)

前編のアクセスが一日に一件ぐらいとなり、落ち着いてきたようなので、この辺で解答編を提示しようと思います。
左の写真は前編に示したもので、曲線を表す式が載っています。チョット込み入ってはいますが、単なる数式がどんな曲線をもたらすのでしょうか、左の写真をクリックしてください。解答が出て来ます。こんな心温まる曲線を描くのですね。

そこで、ちょっと解題してみようと思います。
与えられた式は
x2(y3x2)=1. (1)
(ここで、3x2=x2/3を表します。)
途中を省きますが、(1)式から次の式を得ます。
y = 3x2±√1 - x2.     (2)
この結果に基づいてプロットすればよいのですが、簡単な図解で答えを見ましょう。
(2)式を構成する 3x21 - x2および -1 - x2の図を描いてみましょう。
左図は3x2xの値がー1から1の間に対する振る舞いです。このグラフを図1としましょう。
<=図1

1 - x2-1 - x2は下の図に示すように夫々半径1の円の上半分と下半分に対応します。これらを図2と図3としましょう。

図2               図3
それでは、(2)式のうちの
y = 3x2+√1 - x2のグラフは図1と図2を足して作ることが出来ます。
y = 3x2ー√1 - x2のグラフは図1と図3を足して作ることが出来ます。
そこで、図1、2、3を同じ座標上に点線で表して、3x2+√1 - x2を黒の実線で3x2ー√1 - x2を赤の実線で表してみました。ハートマークになるんですね。

2017年11月4日土曜日

10月22日;紅葉の北大キャンパス II

残りです。写真をクリックすると多少大きくなります。

10月22日;紅葉の北大キャンパス I

10月22日、北大キャンパスの紅葉はきれいでした。時間はあまりないので、中央ローン、農学部前のローン、理学部ローンあたりのみ、巡ってきました。写真をクリックすると多少大きくなります。

2017年11月3日金曜日

心温まる曲線、前編(式修正)

10月21日-23日札幌に滞在しました。私にとって大事な方をしのぶ会が行われ、それに参加するためでした。
22日の午前中ちょっと時間があったので北海道大学の
キャンパスを訪ねてみましたが、紅葉がとてもきれいでした。理学部の本館だった建物(左写真)が博物館に変身してかなり整ったというので、ちょっと寄ってみることにしました。
自然史関係のみの展示がなされていたのとは違い、北大で行われている研究などの紹介を含め、かなり充実していました。
この博物館、ミュージアムショップがちゃんとあるのですが、いろんなグッズが並んでいる中、ふと、心温まる曲線を側面に描いたマグに気がつきました。勿論、売り物。大学のミュージアムショップもこんなことするのと思って手に取って、逆側の側面を見ると、
次の方程式のグラフの概形をかけ、
          x2(y3x2)2 =1

とあるのである。(左図)
へーこの式がこんな心温まる曲線を描くの、全く知らなかったなーと驚きました。
(なお、3x2は自分で作り出しているので、ちょっと分かりにくいかもしれませんが、xの2乗の3乗根、x2/3を表しています)
直交したxy座標に、この式が満たす点(x,y)の軌跡はとても心温まる形になるのです。解答は一週間後にこのブログ上に後編として開示しますが、分かる方コメントに答えを書きませんか?